Задача №2265

Решение

Заданное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'+p(x)y=q(x)}\), где \(\displaystyle{p(x)=\frac{x}{2\left(1-x^2\right)}}\), \(\displaystyle{q(x)=\frac{x}{2}}\), поэтому это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Функция \(\displaystyle{p(x)}\) непрерывна на любом промежутке, на котором \(\displaystyle{x\neq{-1}}\) и \(\displaystyle{x\neq{1}}\), а функция \(\displaystyle{q(x)}\) непрерывна при \(\displaystyle{x\in{R}}\). Исходя из начального условия, будем искать общее решение рассматриваемого уравнения при \(\displaystyle{x\in(-1;1)}\).

Решение данного уравнения ищем в виде произведения двух функций: \(\displaystyle{y(x)=u(x)\cdot{v(x)}}\). Так как \(\displaystyle{y=uv}\), то \(\displaystyle{y'=u'v+uv'}\). Заданное уравнение примет такой вид:

В качестве функции \(\displaystyle{v}\) возьмём произвольное ненулевое частное решение уравнения \(\displaystyle{v'+\frac{xv}{2\left(1-x^2\right)}=0}\). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Принимая \(\displaystyle{C=0}\), получим \(\displaystyle{|v|=\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}}\), откуда \(\displaystyle{v=-\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}}\) или \(\displaystyle{v=\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}}\). Для дальнейших преобразований можно взять любую из полученных функций. Выберем \(\displaystyle{v=\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}}\).

Подставляем \(\displaystyle{v=\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}}\) в уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\), учитывая при этом, что \(\displaystyle{v'+\frac{xv}{2\left(1-x^2\right)}=0}\):

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет таким:

Найдём значение \(\displaystyle{C}\), при котором частное решение удовлетворяет начальному условию \(\displaystyle{y(0)=\frac{2}{3}}\):

Следовательно, искомое частное решение имеет такой вид: