Задача №2254

Решение

Заданное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'+p(x)y=q(x)}\), где \(\displaystyle{p(x)=\frac{2x}{1+x^2}}\), \(\displaystyle{q(x)=\frac{2x^2}{1+x^2}}\), поэтому это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Функции \(\displaystyle{p(x)}\) и \(\displaystyle{q(x)}\) непрерывны при \(\displaystyle{x\in{R}}\).

Решение данного уравнения ищем в виде произведения двух функций: \(\displaystyle{y(x)=u(x)\cdot{v(x)}}\). Так как \(\displaystyle{y=uv}\), то \(\displaystyle{y'=u'v+uv'}\). Заданное уравнение примет такой вид:

В качестве функции \(\displaystyle{v}\) возьмём произвольное ненулевое частное решение уравнения \(\displaystyle{v'+\frac{2xv}{1+x^2}=0}\). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Принимая \(\displaystyle{C=0}\), получим \(\displaystyle{|v|=\frac{1}{1+x^2}}\), откуда \(\displaystyle{v=-\frac{1}{1+x^2}}\) или \(\displaystyle{v=\frac{1}{1+x^2}}\). Для дальнейших преобразований можно взять любую из полученных функций. Выберем \(\displaystyle{v=\frac{1}{1+x^2}}\).

Подставляем \(\displaystyle{v=\frac{1}{1+x^2}}\) в уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\), учитывая при этом, что \(\displaystyle{v'+\frac{2xv}{1+x^2}=0}\):

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет таким:

Найдём значение \(\displaystyle{C}\), при котором частное решение удовлетворяет начальному условию \(\displaystyle{y(0)=\frac{2}{3}}\):

Следовательно, искомое частное решение имеет такой вид: