Задача №2248

Решение

Заданное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'+p(x)y=q(x)}\), где \(\displaystyle{p(x)=\tg{x}}\), \(\displaystyle{q(x)=\cos^2{x}}\), поэтому это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Функция \(\displaystyle{p(x)}\) непрерывна на множестве \(\displaystyle{\bigcup_{n\in{Z}}\left(-\frac{\pi}{2}+\pi{n};\frac{\pi}{2}+\pi{n}\right)}\), а функция \(\displaystyle{q(x)}\) непрерывна при \(\displaystyle{x\in{R}}\). Исходя из начального условия, будем искать общее решение рассматриваемого уравнения при \(\displaystyle{x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)}\).

Решение данного уравнения ищем в виде произведения двух функций: \(\displaystyle{y(x)=u(x)\cdot{v(x)}}\). Так как \(\displaystyle{y=uv}\), то \(\displaystyle{y'=u'v+uv'}\). Заданное уравнение примет такой вид:

В качестве функции \(\displaystyle{v}\) возьмём произвольное ненулевое частное решение уравнения \(\displaystyle{v'+v\tg{x}=0}\). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Принимая \(\displaystyle{C=0}\), получим \(\displaystyle{|v|=\cos{x}}\), откуда \(\displaystyle{v=-\cos{x}}\) или \(\displaystyle{v=\cos{x}}\). Для дальнейших преобразований можно взять любую из полученных функций. Выберем \(\displaystyle{v=\cos{x}}\).

Подставляем \(\displaystyle{v=\cos{x}}\) в уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\), учитывая при этом, что \(\displaystyle{v'+v\tg{x}=0}\):

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет таким:

Найдём значение \(\displaystyle{C}\), при котором частное решение удовлетворяет начальному условию \(\displaystyle{y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}}\):

Следовательно, искомое частное решение имеет такой вид: