Задача №2247

Условие

Найти решение задачи Коши: \(\displaystyle{y'+y\cos{x}=\frac{1}{2}\sin{2x}}\), \(\displaystyle{y(0)=0}\).

Решение

Заданное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'+p(x)y=q(x)}\), где \(\displaystyle{p(x)=\cos{x}}\), \(\displaystyle{q(x)=\frac{1}{2}\sin{2x}}\), поэтому это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Функции \(\displaystyle{p(x)}\) и \(\displaystyle{q(x)}\) непрерывны при \(\displaystyle{x\in{R}}\).

Решение данного уравнения ищем в виде произведения двух функций: \(\displaystyle{y(x)=u(x)\cdot{v(x)}}\). Так как \(\displaystyle{y=uv}\), то \(\displaystyle{y'=u'v+uv'}\). Заданное уравнение примет такой вид:

\[ u'v+uv'+uv\cos{x}=\frac{1}{2}\sin{2x}; \]

\[ \begin{equation} u'v+u\cdot\left(v'+v\cos{x}\right)=\frac{1}{2}\sin{2x}. \tag{✳}\label{eq:1} \end{equation} \]

В качестве функции \(\displaystyle{v}\) возьмём произвольное ненулевое частное решение уравнения \(\displaystyle{v'+v\cos{x}=0}\). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

\[ v'=-v\cos{x};\quad \frac{dv}{dx}=-v\cos{x};\quad \frac{dv}{v}=-\cos{x}dx.\\ \int\frac{dv}{v}=-\int\cos{x}\,dx;\quad \ln|v|=-\sin{x}+C. \]

Принимая \(\displaystyle{C=0}\), получим \(\displaystyle{|v|=e^{-\sin{x}}}\), откуда \(\displaystyle{v=-e^{-\sin{x}}}\) или \(\displaystyle{v=e^{-\sin{x}}}\). Для дальнейших преобразований можно взять любую из полученных функций. Выберем \(\displaystyle{v=e^{-\sin{x}}}\).

Подставляем \(\displaystyle{v=e^{-\sin{x}}}\) в уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\), учитывая при этом, что \(\displaystyle{v'+v\cos{x}=0}\):

\[ u'\cdot{e^{-\sin{x}}}=\frac{1}{2}\sin{2x};\quad u'=\sin{x}\cos{x}\cdot{e^{\sin{x}}}.\\ u=\int\left(\sin{x}\cos{x}\cdot{e^{\sin{x}}}\right)dx =[t=\sin{x}] =\int{te^t}dt =\left[\begin{aligned} & u=t;\;du=dt;\\ & dv=e^tdt;\;v=e^t \end{aligned}\right] =te^t-\int{e^t}dt =\sin{x}\cdot{e^{\sin{x}}}-e^{\sin{x}}+C \]

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет таким:

\[ y=uv=\left(\sin{x}\cdot{e^{\sin{x}}}-e^{\sin{x}}+C\right)\cdot{e^{-\sin{x}}} =\sin{x}-1+Ce^{-\sin{x}}. \]

Найдём значение \(\displaystyle{C}\), при котором частное решение удовлетворяет начальному условию \(\displaystyle{y(0)=0}\):

\[ 0=-1+C\cdot{1};\; C=1. \]

Следовательно, искомое частное решение имеет такой вид:

\[ y=\sin{x}-1+e^{-\sin{x}} \]

Ответ:

\(\displaystyle{y=\sin{x}-1+e^{-\sin{x}}}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №6	Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике"
Раздел №5	Дифференциальные уравнения
Параграф №3	Расчётные задания
Задача №4
Пункт №3