Задача №2209
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{y'=\frac{x^2+xy-5y^2}{x^2-6xy}}\).
Решение
Заданное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\), где \(\displaystyle{f(x,y)=\frac{x^2+xy-5y^2}{x^2-6xy}}\).
\[
f(kx,ky)
=\frac{(kx)^2+kx\cdot{ky}-5(ky)^2}{(kx)^2-6kx\cdot{ky}}
=\frac{x^2+xy-5y^2}{x^2-6xy}
=f(x,y).
\]
Следовательно, \(\displaystyle{f(x,y)}\) – однородная функция нулевой степени (в иной терминологии: нулевого порядка или нулевого измерения). Это значит, что \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\) – однородное дифференциальное уравнение. Полагаем \(\displaystyle{y=u(x)\cdot{x}}\), тогда \(\displaystyle{y'=u'x+u}\).
\[
u'x+u=\frac{x^2+ux^2-5u^2x^2}{x^2-6ux^2};\;
u'x=\frac{1+u-5u^2}{1-6u}-u;\;
x\frac{du}{dx}=\frac{u^2+1}{1-6u}.
\]
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, будем иметь:
\[
\frac{(1-6u)du}{u^2+1}=\frac{dx}{x};\\
\int\frac{(1-6u)du}{u^2+1}=\int\frac{dx}{x};\;
\int\left(\frac{1}{u^2+1}-\frac{6u}{u^2+1}\right)du=\int\frac{dx}{x}.\\
\arctg{u}-3\ln\left(u^2+1\right)=\ln|x|+C;\;
\arctg{u}-3\ln\left(u^2+1\right)-\ln|x|=C.
\]
Возвращаясь к прежней неизвестной функции \(\displaystyle{y}\) (с учётом \(\displaystyle{y=ux}\)), получим:
\[
\arctg\frac{y}{x}-3\ln\left(\frac{y^2}{x^2}+1\right)-\ln|x|=C;\;
\arctg\frac{y}{x}-3\ln\frac{x^2+y^2}{x^2}-\ln|x|=C;\\
\arctg\frac{y}{x}-3\ln\left(x^2+y^2\right)+3\ln{x^2}-\ln|x|=C;\;
\arctg\frac{y}{x}-3\ln\left(x^2+y^2\right)+5\ln|x|=C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\arctg\frac{y}{x}-3\ln\left(x^2+y^2\right)+5\ln|x|=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №2 | |
| Пункт №27 |