Задача №2207

Решение

Запишем уравнение в такой форме: \(\displaystyle{y'=\frac{y^2}{4x^2}+\frac{5y}{2x}+\frac{5}{4}}\). Заданное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\), где \(\displaystyle{f(x,y)=\frac{y^2}{4x^2}+\frac{5y}{2x}+\frac{5}{4}}\).

Следовательно, \(\displaystyle{f(x,y)}\) – однородная функция нулевой степени (в иной терминологии: нулевого порядка или нулевого измерения). Это значит, что \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\) – однородное дифференциальное уравнение. Полагаем \(\displaystyle{y=u(x)\cdot{x}}\), тогда \(\displaystyle{y'=u'x+u}\).

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Рассмотрим случай \(\displaystyle{u^2+6u+5=0}\), т.е. \(\displaystyle{u=-5}\) или \(\displaystyle{u=-1}\). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функции \(\displaystyle{u=-5}\) и \(\displaystyle{u=-1}\) являются решениями уравнения \(\displaystyle{4x\frac{du}{dx}=u^2+6u+5}\). Соответственно, функции \(\displaystyle{y=-5x}\) и \(\displaystyle{y=-x}\) будут решениями исходного дифференциального уравнения.

Разделяя переменные при условии \(\displaystyle{u\neq{-5}}\), \(\displaystyle{u\neq{-1}}\), будем иметь:

Здесь \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\). Из последнего равенства следует \(\displaystyle{\left|\frac{u+1}{u+5}\right|=C_1|x|}\), откуда \(\displaystyle{\frac{u+1}{u+5}=\pm{C_1}x}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm{C_1}}\) как \(\displaystyle{C}\) (при этом \(\displaystyle{C\in{R}\setminus\{0\}}\)), получим \(\displaystyle{\frac{u+1}{u+5}=Cx}\). Возвращаясь к прежней неизвестной функции \(\displaystyle{y}\) (с учётом \(\displaystyle{y=ux}\)), получим:

Ранее найденное решение \(\displaystyle{y=-x}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{\frac{y+x}{x(y+5x)}=C}\) при \(\displaystyle{C=0}\). Следовательно, условие \(\displaystyle{C\in{R}\setminus\{0\}}\) можно изменить, т.е. принять \(\displaystyle{C\in{R}}\).