Задача №2197
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{y'=\frac{x^2+2xy-y^2}{2x^2-2xy}}\).
Решение
Заданное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\), где \(\displaystyle{f(x,y)=\frac{x^2+2xy-y^2}{2x^2-2xy}}\).
\[
f(kx,ky)
=\frac{(kx)^2+2kx\cdot{ky}-(ky)^2}{2(kx)^2-2kx\cdot{ky}}
=\frac{x^2+2xy-y^2}{2x^2-2xy}
=f(x,y).
\]
Следовательно, \(\displaystyle{f(x,y)}\) – однородная функция нулевой степени (в иной терминологии: нулевого порядка или нулевого измерения). Это значит, что \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\) – однородное дифференциальное уравнение. Полагаем \(\displaystyle{y=u(x)\cdot{x}}\), тогда \(\displaystyle{y'=u'x+u}\).
\[
u'x+u=\frac{x^2+2ux^2-u^2x^2}{2x^2-2ux^2};\;
u'x=\frac{1+2u-u^2}{2-2u}-u;\;
x\frac{du}{dx}=\frac{u^2+1}{2-2u}.
\]
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, будем иметь:
\[
\frac{(2-2u)du}{u^2+1}=\frac{dx}{x};\\
\int\frac{(2-2u)du}{u^2+1}=\int\frac{dx}{x};\;
\int\left(\frac{2}{u^2+1}-\frac{2u}{u^2+1}\right)du=\int\frac{dx}{x}.\\
2\arctg{u}-\ln\left(u^2+1\right)=\ln|x|+C;\;
2\arctg{u}-\ln\left(u^2+1\right)-\ln|x|=C.
\]
Возвращаясь к прежней неизвестной функции \(\displaystyle{y}\) (с учётом \(\displaystyle{y=ux}\)), получим:
\[
2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(\frac{y^2}{x^2}+1\right)-\ln|x|=C;\;
2\arctg\frac{y}{x}-\ln\frac{x^2+y^2}{x^2}-\ln|x|=C;\\
2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(x^2+y^2\right)+\ln{x^2}-\ln|x|=C;\;
2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(x^2+y^2\right)+\ln|x|=C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(x^2+y^2\right)+\ln|x|=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №2 | |
| Пункт №15 |