Задача №2190

Решение

Запишем данное уравнение в таком виде: \(\displaystyle{y'=\frac{2\sqrt{x^2+y^2}+y}{x}}\). Полученное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\), где \(\displaystyle{f(x,y)=\frac{2\sqrt{x^2+y^2}+y}{x}}\).

Следовательно, \(\displaystyle{f(x,y)}\) – однородная функция нулевой степени (в иной терминологии: нулевого порядка или нулевого измерения). Это значит, что \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\) – однородное дифференциальное уравнение. Представим данное уравнение в таком виде: \(\displaystyle{y'=2\sgn{x}\cdot\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}+\frac{y}{x}}\). Полагаем \(\displaystyle{y=u(x)\cdot{x}}\), тогда \(\displaystyle{y'=u'x+u}\).

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, будем иметь:

Рассмотрим два случая. Пусть \(\displaystyle{x\lt{0}}\), тогда записывая константу \(\displaystyle{C}\) в виде \(\displaystyle{\ln{C_1}}\), где \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\), получим:

Далее, пусть теперь \(\displaystyle{x\gt{0}}\). Записывая константу \(\displaystyle{C}\) в виде \(\displaystyle{\ln\left(-\frac{1}{C_2}\right)}\), где \(\displaystyle{C_2\lt{0}}\), получим:

Сравнивая полученные формулы при \(\displaystyle{x\lt{0}}\) и \(\displaystyle{x\gt{0}}\), находим, что их можно записать одним выражением: \(\displaystyle{x\cdot\left(y-\sqrt{x^2+y^2}\right)=C}\), где \(\displaystyle{C\lt{0}}\) при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) и \(\displaystyle{C\gt{0}}\) при \(\displaystyle{x\lt{0}}\).