Задача №2189
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{y'=\frac{x+2y}{2x-y}}\).
Решение
Заданное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\), где \(\displaystyle{f(x,y)=\frac{x+2y}{2x-y}}\).
\[
f(kx,ky)
=\frac{kx+2ky}{2kx-ky}
=\frac{x+2y}{2x-y}
=f(x,y).
\]
Следовательно, \(\displaystyle{f(x,y)}\) – однородная функция нулевой степени (в иной терминологии: нулевого порядка или нулевого измерения). Это значит, что \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\) – однородное дифференциальное уравнение. Полагаем \(\displaystyle{y=u(x)\cdot{x}}\), тогда \(\displaystyle{y'=u'x+u}\).
\[
u'x+u=\frac{x+2ux}{2x-ux};\;
u'x=\frac{1+2u}{2-u}-u;\;
x\frac{du}{dx}=\frac{u^2+1}{2-u}.
\]
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, будем иметь:
\[
\frac{(2-u)du}{u^2+1}=\frac{dx}{x};\\
\int\frac{(2-u)du}{u^2+1}=\int\frac{dx}{x};\;
\int\left(\frac{2}{u^2+1}-\frac{u}{u^2+1}\right)du=\int\frac{dx}{x}.\\
2\arctg{u}-\frac{1}{2}\ln\left(u^2+1\right)=\ln|x|+\frac{1}{2}C;\;
4\arctg{u}-\ln\left(u^2+1\right)-2\ln|x|=C;\;
4\arctg{u}-\ln\left(u^2x^2+x^2\right)=C.
\]
Возвращаясь к прежней неизвестной функции \(\displaystyle{y}\) (с учётом \(\displaystyle{y=ux}\)), получим:
\[
4\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(y^2+x^2\right)=C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{4\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(y^2+x^2\right)=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №2 | |
| Пункт №7 |