Задача №2188

Решение

Запишем данное уравнение в таком виде: \(\displaystyle{y'=\frac{3y^3+4yx^2}{x\cdot\left(2y^2+2x^2\right)}}\). Полученное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\), где \(\displaystyle{f(x,y)=\frac{3y^3+4yx^2}{x\cdot\left(2y^2+2x^2\right)}}\).

Следовательно, \(\displaystyle{f(x,y)}\) – однородная функция нулевой степени (в иной терминологии: нулевого порядка или нулевого измерения). Это значит, что \(\displaystyle{y'=f(x,y)}\) – однородное дифференциальное уравнение. Полагаем \(\displaystyle{y=u(x)\cdot{x}}\), тогда \(\displaystyle{y'=u'x+u}\).

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Рассмотрим случай \(\displaystyle{u^3+2u=0}\), т.е. \(\displaystyle{u=0}\). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция \(\displaystyle{u=0}\) является решением уравнения \(\displaystyle{x\frac{du}{dx}=\frac{u^3+2u}{2u^2+2}}\). Соответственно, функция \(\displaystyle{y=0}\) будет решением исходного дифференциального уравнения. Разделяя переменные при условии \(\displaystyle{u\neq{0}}\) будем иметь:

Здесь \(\displaystyle{C\gt{0}}\). Из последнего равенства следует \(\displaystyle{u^2\cdot\left(u^2+2\right)=Cx^2}\). Возвращаясь к прежней неизвестной функции \(\displaystyle{y}\) (с учётом \(\displaystyle{y=ux}\)), получим:

Ранее найденное решение \(\displaystyle{y=0}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{\frac{y^2\left(2x^2+y^2\right)}{x^6}=C}\) при \(\displaystyle{C=0}\). Следовательно, условие \(\displaystyle{C\gt{0}}\) можно изменить, т.е. принять \(\displaystyle{C\ge{0}}\).