Задача №2182
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{20xdx-3ydy=3x^2ydy-5xy^2dx}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\).)
Решение
\[
20xdx+5xy^2dx=3x^2ydy+3ydy;\quad
5x\left(4+y^2\right)dx=3y\left(x^2+1\right)dy.
\]
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, после чего интегрируем:
\[
\frac{5x\,dx}{x^2+1}=\frac{3y\,dy}{y^2+4};\quad
\int\frac{5x\,dx}{x^2+1}=\int\frac{3y\,dy}{y^2+4};\quad
5\int\frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=3\int\frac{d\left(y^2+4\right)}{y^2+4};\\
5\ln\left(x^2+1\right)=3\ln\left(y^2+4\right)+\ln{C};\quad
\ln\frac{\left(x^2+1\right)^5}{\left(y^2+4\right)^3}=\ln{C}.
\]
Здесь \(\displaystyle{C\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\frac{\left(x^2+1\right)^5}{\left(y^2+4\right)^3}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\left(x^2+1\right)^5}{\left(y^2+4\right)^3}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №31 |