Задача №2181
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{2x+2xy^2+\sqrt{2-x^2}y'=0}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\).)
Решение
\[
2x\left(1+y^2\right)+\sqrt{2-x^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0.
\]
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, умножаем обе части равенства на \(\displaystyle{\frac{dx}{\left(1+y^2\right)\sqrt{2-x^2}}}\) и интегрируем:
\[
\frac{2x\,dx}{\sqrt{2-x^2}}+\frac{dy}{1+y^2}=0;\quad
-\int\frac{d\left(2-x^2\right)}{\sqrt{2-x^2}}+\int\frac{dy}{1+y^2}=0;\quad
-2\sqrt{2-x^2}+\arctg{y}=C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\arctg{y}-2\sqrt{2-x^2}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №30 |