Задача №2180
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{2xdx-ydy=yx^2dy-xy^2dx}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\).)
Решение
\[
2xdx+xy^2dx=x^2ydy+ydy;\quad
x\left(2+y^2\right)dx=\left(x^2+1\right)ydy.
\]
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, после чего интегрируем:
\[
\frac{x\,dx}{x^2+1}=\frac{y\,dy}{y^2+2};\quad
\int\frac{x\,dx}{x^2+1}=\int\frac{y\,dy}{y^2+2};\quad
\int\frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\int\frac{d\left(y^2+2\right)}{y^2+2};\\
\ln\left(x^2+1\right)=\ln\left(y^2+2\right)+\ln{C};\quad
\ln\frac{\left(x^2+1\right)}{\left(y^2+2\right)}=\ln{C}.
\]
Здесь \(\displaystyle{C\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем общий интеграл заданного уравнения:
\[\frac{x^2+1}{y^2+2}=C\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x^2+1}{y^2+2}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №29 |