Задача №2179
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{3\left(x^2y+y\right)dy+\sqrt{2+y^2}dx=0}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\).)
Решение
\[
3\left(x^2+1\right)ydy+\sqrt{2+y^2}dx=0.
\]
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, делим обе части на \(\displaystyle{\left(x^2+1\right)\sqrt{y^2+2}}\) и интегрируем:
\[
\frac{3y\,dy}{\sqrt{y^2+2}}+\frac{dx}{x^2+1}=0;\quad
3\int\frac{y\,dy}{\sqrt{y^2+2}}+\int\frac{dx}{x^2+1}=0;\quad\\
\frac{3}{2}\int\frac{d\left(y^2+2\right)}{\sqrt{y^2+2}}+\int\frac{dx}{x^2+1}=0;\quad
3\sqrt{y^2+2}+\arctg{x}=C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{3\sqrt{y^2+2}+\arctg{x}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №28 |