Задача №2178
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{\left(1+e^x\right)yy'=e^x}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[
\left(1+e^x\right)y\frac{dy}{dx}=e^x;\;
ydy=\frac{e^xdx}{e^x+1}.\\
\int{y}dy=\int\frac{e^xdx}{e^x+1};\;
\int{y}dy=\int\frac{d\left(e^x+1\right)}{e^x+1}.\\
\frac{y^2}{2}=\ln\left(e^x+1\right)+C;\;
\frac{y^2}{2}-\ln\left(e^x+1\right)=C.
\]
Общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\frac{y^2}{2}-\ln\left(e^x+1\right)=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{y^2}{2}-\ln\left(e^x+1\right)=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №27 |