Задача №2176
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{xdx-ydy=yx^2dy-xy^2dx}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
\[
yx^2dy+ydy=xy^2dx+xdx;\\
y\left(x^2+1\right)dy=x\left(y^2+1\right)dx.
\]
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[
\frac{ydy}{y^2+1}=\frac{xdx}{x^2+1};\\
\int\frac{ydy}{y^2+1}=\int\frac{xdx}{x^2+1};\;
\int\frac{d\left(y^2+1\right)}{y^2+1}=\int\frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}.\\
\ln\left(y^2+1\right)=\ln\left(x^2+1\right)+\ln{C};\;
\ln\frac{y^2+1}{x^2+1}=\ln{C}.
\]
Здесь \(\displaystyle{C\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\frac{y^2+1}{x^2+1}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{y^2+1}{x^2+1}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №25 |