Задача №2173

Условие

Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{y\left(1+\ln{y}\right)+xy'=0}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).

Решение

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{y=\frac{1}{e}}\) – решение данного уравнения. При условии \(\displaystyle{y\neq\frac{1}{e}}\) разделяем переменные, после чего интегрируем:

\[ x\frac{dy}{dx}=-y\left(1+\ln{y}\right);\; \frac{dy}{y\left(1+\ln{y}\right)}=-\frac{dx}{x}.\\ \int\frac{dy}{y\left(1+\ln{y}\right)}=-\int\frac{dx}{x};\; \int\frac{d\left(1+\ln{y}\right)}{1+\ln{y}}=-\int\frac{dx}{x}.\\ \ln\left|1+\ln{y}\right|=-\ln|x|+\ln{C_1};\; \ln\left|1+\ln{y}\right|=\ln\frac{C_1}{|x|}. \]

Здесь \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем: \(\displaystyle{\left|1+\ln{y}\right|=\frac{C_1}{|x|}}\), откуда \(\displaystyle{1+\ln{y}=\frac{\pm{C_1}}{x}}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm{C_1}}\) как \(\displaystyle{C}\) (при этом \(\displaystyle{C\in{R}\setminus\{0\}}\)), получим \(\displaystyle{1+\ln{y}=\frac{C}{x}}\).

Ранее найденное решение \(\displaystyle{y=\frac{1}{e}}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{1+\ln{y}=\frac{C}{x}}\) при \(\displaystyle{C=0}\). Следовательно, общий интеграл данного уравнения будет таким: \(\displaystyle{x\left(1+\ln{y}\right)=C}\), где \(\displaystyle{C\in{R}}\).

Ответ:

\(\displaystyle{x\left(1+\ln{y}\right)=C}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №6	Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике"
Раздел №5	Дифференциальные уравнения
Параграф №3	Расчётные задания
Задача №1
Пункт №22