Задача №2171
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{\sqrt{1-x^2}y'+xy^2+x=0}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[
\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}=-x\left(y^2+1\right);\;
\frac{dy}{y^2+1}=-\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}.\\
\int\frac{dy}{y^2+1}=-\int\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}};\;
\int\frac{dy}{y^2+1}=\frac{1}{2}\int\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-x^2\right).\\
\arctg{y}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C;\;
\arctg{y}-\sqrt{1-x^2}=C.
\]
Общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\arctg{y}-\sqrt{1-x^2}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\arctg{y}-\sqrt{1-x^2}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №20 |