Задача №2170

Условие

Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{\left(1+e^x\right)y'=ye^x}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).

Решение

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{y=0}\) – решение данного уравнения. При условии \(\displaystyle{y\neq{0}}\) разделяем переменные, после чего интегрируем:

\[ \left(1+e^x\right)\frac{dy}{dx}=ye^x;\; \frac{dy}{y}=\frac{e^{x}dx}{e^{x}+1}.\\ \int\frac{dy}{y}=\int\frac{e^{x}dx}{e^{x}+1};\; \int\frac{dy}{y}=\int\frac{d\left(e^{x}+1\right)}{e^{x}+1}.\\ \ln|y|=\ln\left(e^{x}+1\right)+\ln{C_1};\; \ln|y|=\ln\left(C_1\cdot\left(e^{x}+1\right)\right). \]

Здесь \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем: \(\displaystyle{|y|=C_1\cdot\left(e^{x}+1\right)}\), откуда \(\displaystyle{y=\pm{C_1}\cdot\left(e^{x}+1\right)}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm{C_1}}\) как \(\displaystyle{C}\) (при этом \(\displaystyle{C\in{R}\setminus\{0\}}\)), получим \(\displaystyle{y=C\cdot\left(e^{x}+1\right)}\).

Ранее найденное решение \(\displaystyle{y=0}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{y=C\cdot\left(e^{x}+1\right)}\) при \(\displaystyle{C=0}\). Следовательно, общий интеграл данного уравнения будет таким: \(\displaystyle{\frac{y}{e^x+1}=C}\), где \(\displaystyle{C\in{R}}\).

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{y}{e^x+1}=C}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №6	Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике"
Раздел №5	Дифференциальные уравнения
Параграф №3	Расчётные задания
Задача №1
Пункт №19