Задача №2169

Условие

Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{y\ln{y}+xy'=0}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).

Решение

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{y=1}\) – решение данного уравнения. При условии \(\displaystyle{y\in(0;1)\cup(1;+\infty)}\) разделяем переменные, после чего интегрируем:

\[ xy'=-y\ln{y};\;x\frac{dy}{dx}=-y\ln{y};\;\frac{dy}{y\ln{y}}=-\frac{dx}{x}.\\ \int\frac{dy}{y\ln{y}}=-\int\frac{dx}{x};\; \int\frac{d(\ln{y})}{\ln{y}}=-\int\frac{dx}{x}.\\ \ln|\ln{y}|=-\ln|x|+\ln{C_1};\; \ln|\ln{y}|=\ln\frac{C_1}{|x|}. \]

Здесь \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем: \(\displaystyle{|\ln{y}|=\frac{C_1}{|x|}}\), откуда \(\displaystyle{\ln{y}=\frac{\pm{C_1}}{x}}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm{C_1}}\) как \(\displaystyle{C}\) (при этом \(\displaystyle{C\in{R}\setminus\{0\}}\)), получим \(\displaystyle{\ln{y}=\frac{C}{x}}\).

Ранее найденное решение \(\displaystyle{y=1}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{\ln{y}=\frac{C}{x}}\) при \(\displaystyle{C=0}\). Следовательно, общий интеграл данного уравнения будет таким: \(\displaystyle{x\ln{y}=C}\), где \(\displaystyle{C\in{R}}\).

Ответ:

\(\displaystyle{x\ln{y}=C}\), \(\displaystyle{C\in{R}}\).

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №6	Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике"
Раздел №5	Дифференциальные уравнения
Параграф №3	Расчётные задания
Задача №1
Пункт №18