Задача №2168
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{6xdx-ydy=yx^2dy-3xy^2dx}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
\[
yx^2dy+ydy=3xy^2dx+6xdx;\\
y\left(x^2+1\right)dy=3x\left(y^2+2\right)dx.
\]
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[
\frac{ydy}{y^2+2}=\frac{3xdx}{x^2+1};\\
\int\frac{ydy}{y^2+2}=\int\frac{3xdx}{x^2+1};\;
\frac{1}{2}\int\frac{d\left(y^2+2\right)}{y^2+2}=\frac{3}{2}\int\frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}.\\
\frac{1}{2}\ln\left(y^2+2\right)=\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{2}\ln{C};\;
\ln\frac{y^2+2}{\left(x^2+1\right)^3}=\ln{C}.
\]
Здесь \(\displaystyle{C\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\frac{y^2+2}{\left(x^2+1\right)^3}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{y^2+2}{\left(x^2+1\right)^3}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №17 |