Задача №2167
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{\sqrt{5+y^2}+yy'\sqrt{1-x^2}=0}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[
y\frac{dy}{dx}\sqrt{1-x^2}=-\sqrt{5+y^2};\;
\frac{ydy}{\sqrt{5+y^2}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\\
\int\frac{ydy}{\sqrt{5+y^2}}=-\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\;
\frac{1}{2}\int\left(5+y^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(5+y^2\right)
=-\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\\
\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(5+y^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}
=-\arcsin{x}+C;\;
\sqrt{5+y^2}+\arcsin{x}=C.
\]
Общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\sqrt{5+y^2}+\arcsin{x}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{5+y^2}+\arcsin{x}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №16 |