Задача №2164
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{2xdx-2ydy=x^2ydy-2xy^2dx}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
\[
x^2ydy+2ydy=2xy^2dx+2xdx;\\
y\left(x^2+2\right)dy=2x\left(y^2+1\right)dx.
\]
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[
\frac{ydy}{y^2+1}=\frac{2xdx}{x^2+2};\\
\int\frac{ydy}{y^2+1}=\int\frac{2xdx}{x^2+2};\;
\frac{1}{2}\int\frac{d\left(y^2+1\right)}{y^2+1}=\int\frac{d\left(x^2+2\right)}{x^2+2}.\\
\frac{1}{2}\ln\left(y^2+1\right)=\ln\left(x^2+2\right)+\ln{C};\;
\ln\frac{\sqrt{y^2+1}}{x^2+2}=\ln{C}.
\]
Здесь \(\displaystyle{C\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\frac{\sqrt{y^2+1}}{x^2+2}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\sqrt{y^2+1}}{x^2+2}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №13 |