Задача №2160
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{6xdx-6ydy=3x^2ydy-2xy^2dx}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
\[
3x^2ydy+6ydy=2xy^2dx+6xdx;\\
3y\left(x^2+2\right)dy=2x\left(y^2+3\right)dx.
\]
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[
\frac{3ydy}{y^2+3}=\frac{2xdx}{x^2+2};\\
\int\frac{3ydy}{y^2+3}=\int\frac{2xdx}{x^2+2};\;
\frac{3}{2}\cdot\int\frac{d\left(y^2+3\right)}{y^2+3}=\int\frac{d\left(x^2+2\right)}{x^2+2}.\\
\frac{3}{2}\ln\left(y^2+3\right)=\ln\left(x^2+2\right)+\ln{C};\;
\ln\frac{\sqrt{\left(y^2+3\right)^3}}{x^2+2}=\ln{C}.
\]
Здесь \(\displaystyle{C\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\frac{\sqrt{\left(y^2+3\right)^3}}{x^2+2}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\sqrt{\left(y^2+3\right)^3}}{x^2+2}=C}\), \(\displaystyle{C\gt{0}}\).
Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №9 |