Задача №2159
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{y'y\sqrt{\frac{1-x^2}{1-y^2}}+1=0}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. При \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\), \(\displaystyle{-1\lt{y}\lt{1}}\) будем иметь:
\[
\frac{y\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-y^2}}\cdot\frac{dy}{dx}=-1;\;
\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\\
\int\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=-\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\;
-\frac{1}{2}\int\left(1-y^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-y^2\right)=-\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\\
-\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1-y^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}
=-\arcsin{x}+C;\;
\arcsin{x}-\sqrt{1-y^2}=C.
\]
Если же \(\displaystyle{x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)}\), \(\displaystyle{y\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)}\), то получим:
\[
\frac{y\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{y^2-1}}\cdot\frac{dy}{dx}=-1;\;
\frac{ydy}{\sqrt{y^2-1}}=-\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}.\\
\int\frac{ydy}{\sqrt{y^2-1}}=-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}};\;
\frac{1}{2}\int\left(y^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(y^2-1\right)=-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}.\\
\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(y^2-1\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}
=-\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+C;\;
\sqrt{y^2-1}+\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|=C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\arcsin{x}-\sqrt{1-y^2}=C}\), \(\displaystyle{\sqrt{y^2-1}+\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|=C}\).
Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №8 |