Задача №2158

Решение

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{y=0}\) – решение данного уравнения. При условии \(\displaystyle{y\neq{0}}\) разделяем переменные, после чего интегрируем:

Здесь \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем: \(\displaystyle{|y|=\frac{C_1}{\sqrt{e^{2x}+5}}}\), откуда \(\displaystyle{y=\frac{\pm{C_1}}{\sqrt{e^{2x}+5}}}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm{C_1}}\) как \(\displaystyle{C}\) (при этом \(\displaystyle{C\in{R}\setminus\{0\}}\)), получим \(\displaystyle{y=\frac{C}{\sqrt{e^{2x}+5}}}\).

Ранее найденное решение \(\displaystyle{y=0}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{y=\frac{C}{\sqrt{e^{2x}+5}}}\) при \(\displaystyle{C=0}\). Следовательно, общий интеграл данного уравнения будет таким: \(\displaystyle{y\sqrt{e^{2x}+5}=C}\), где \(\displaystyle{C\in{R}}\).