Задача №2157
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{x\sqrt{3+y^2}dx+y\sqrt{2+x^2}dy=0}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[
y\sqrt{2+x^2}dy=-x\sqrt{3+y^2}dx;\;
\frac{ydy}{\sqrt{3+y^2}}=-\frac{xdx}{\sqrt{2+x^2}}.\\
\int\frac{ydy}{\sqrt{3+y^2}}=-\int\frac{xdx}{\sqrt{2+x^2}};\;
\frac{1}{2}\int\left(3+y^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(3+y^2\right)
=-\frac{1}{2}\int\left(2+x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(2+x^2\right).\\
\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(3+y^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}
=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(2+x^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C;\;
\sqrt{2+x^2}+\sqrt{3+y^2}=C.
\]
Общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\sqrt{2+x^2}+\sqrt{3+y^2}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{2+x^2}+\sqrt{3+y^2}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №6 |