Задача №2155
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{\sqrt{3+y^2}dx-ydy=x^2ydy}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[
\left(x^2+1\right)ydy=\sqrt{3+y^2}dx;\;
\frac{ydy}{\sqrt{3+y^2}}=\frac{dx}{x^2+1}.\\
\int\frac{ydy}{\sqrt{3+y^2}}=\int\frac{dx}{x^2+1};\;
\frac{1}{2}\int\left(3+y^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(3+y^2\right)
=\int\frac{dx}{x^2+1}.\\
\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(3+y^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=\arctg{x}+C;\;
\sqrt{3+y^2}-\arctg{x}=C.
\]
Общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\sqrt{3+y^2}-\arctg{x}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{3+y^2}-\arctg{x}=C}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №4 |