Задача №2152
Условие
Найти общий интеграл дифференциального уравнения \(\displaystyle{4xdx-3ydy=3x^2ydy-2xy^2dx}\). (Ответ представить в виде \(\displaystyle{\psi(x,y)=C}\)).
Решение
\[
3x^2ydy+3ydy=4xdx+2xy^2dx;\\
3y\left(x^2+1\right)dy=2x\left(y^2+2\right)dx.
\]
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\(\displaystyle{ \frac{3ydy}{y^2+2}=\frac{2xdx}{x^2+1};\\ \int\frac{3ydy}{y^2+2}=\int\frac{2xdx}{x^2+1};\; \frac{3}{2}\cdot\int\frac{d\left(y^2+2\right)}{y^2+2}=\int\frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}.\\ \frac{3}{2}\ln\left(y^2+2\right)=\ln\left(x^2+1\right)+\ln{C};\; \ln\frac{\sqrt{\left(y^2+2\right)^3}}{x^2+1}=\ln{C}. }\)Здесь \(\displaystyle{C\gt{0}}\). Из последнего равенства получаем общий интеграл заданного уравнения: \(\displaystyle{\frac{\sqrt{\left(y^2+2\right)^3}}{x^2+1}=C}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\sqrt{\left(y^2+2\right)^3}}{x^2+1}=C}\), \(\displaystyle{C\gt{0}}\).
Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №5 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №1 | |
| Пункт №1 |