Задача №2120
Условие
Эта задача имеет различное условие в сборниках разных годов издания. В сборниках до 2015 года издания требуется найти такой предел:
\[\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^2-(n+1)^2}{n^2+n+1}\]
В сборнике 2015 года издания требуется найти такой предел:
\[\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^2-(n+1)^3}{n^2+n+1}\]
Решение
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^2-(n+1)^2}{n^2+n+1}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(2n+1)^2-(n+1)^2}{n^2}}{\frac{n^2+n+1}{n^2}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(2+\frac{1}{n}\right)^2-\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}
=\frac{4-1}{1}
=3
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^2-(n+1)^3}{n^2+n+1}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(2n+1)^2-(n+1)^3}{n^3}}{\frac{n^2+n+1}{n^3}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}\cdot\left(2+\frac{1}{n}\right)^2-\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}}
=\infty
\]
Ответ:
Задача решена.
Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №1 | Пределы |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №2 | |
| Пункт №31 |