Задача №2117
Условие
Эта задача имеет различное условие в сборниках разных годов издания. В сборниках до 2015 года издания требуется найти такой предел:
\[\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3+(n-1)^3}{n^3-3n}\]
В сборнике 2015 года издания требуется найти такой предел:
\[\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3+(n-1)^2}{n^3-3n}\]
Решение
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3+(n-1)^3}{n^3-3n}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^3+(n-1)^3}{n^3}}{\frac{n^3-3n}{n^3}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^3+\left(1-\frac{1}{n}\right)^3}{1-\frac{3}{n^2}}
=\frac{1+1}{1}
=2
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3+(n-1)^2}{n^3-3n}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^3+(n-1)^2}{n^3}}{\frac{n^3-3n}{n^3}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^3+\frac{1}{n}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}{1-\frac{3}{n^2}}
=\frac{1+0}{1}
=1
\]
Ответ:
Задача решена.
Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №1 | Пределы |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №2 | |
| Пункт №28 |