Задача №2096
Условие
Вычислить предел числовой последовательности: \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{(1+2n)^3-8n^3}{(1+2n)^2+4n^2}}\).
Решение
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{(1+2n)^3-8n^3}{(1+2n)^2+4n^2}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1+6n+12n^2+8n^3-8n^3}{(1+2n)^2+4n^2}=\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{1+6n+12n^2}{(1+2n)^2+4n^2}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{6}{n}+12}{\left(\frac{1}{n}+2\right)^2+4}
=\frac{12}{4+4}
=\frac{3}{2}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{3}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №6 | Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике" |
| Раздел №1 | Пределы |
| Параграф №3 | Расчётные задания |
| Задача №2 | |
| Пункт №7 |