Задача №2058

Решение

Проведём доказательство методом от противного. Пусть последовательность \(\displaystyle{\{x_n\}}\) сходится, последовательность \(\displaystyle{\{y_n\}}\) расходится, но при этом последовательность \(\displaystyle{z_n = ax_n + by_n}\) является сходящейся.

Так как \(\displaystyle{\{x_n\}}\) и \(\displaystyle{\{z_n\}}\) – сходящиеся последовательности, то будет сходиться и последовательность \(\displaystyle{\left\{ z_n - ax_n \right\}}\), откуда следует сходимость последовательности \(\displaystyle{\left\{\frac{1}{b}\cdot\left( z_n - ax_n \right)\right\}}\). Однако \(\displaystyle{\frac{1}{b}\cdot\left( z_n - ax_n \right) = y_n}\), т.е. последовательность \(\displaystyle{\{y_n\}}\) сходится, что противоречит условию.

Полученное противоречие говорит о том, что сделанное допущение о сходимости последовательности \(\displaystyle{\{z_n\}}\) является неверным, т.е. последовательность \(\displaystyle{\{z_n\}}\) расходится.