Задача №2056
Условие
Доказать, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1}\).
Решение
Для сокращения записи обозначим \(\displaystyle{x_n = \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}}\). Разложим дробь \(\displaystyle{\frac{1}{k(k+1)}}\) на элементарные дроби:
\[
\frac{1}{k(k+1)}
=\frac{k+1-k}{k(k+1)}
=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}
=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}
\]
С учётом полученного разложения будем иметь:
\[
x_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}=\\
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}
=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-1\right)
=1-\frac{1}{n+1}.
\]
Исходя из полученного результата, будем иметь:
\[
\lim_{n\to\infty}{x_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)
=1-0
=1
\]
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №8 | Предел последовательности |
| Задача №43 |