Задача №2053
Условие
Пусть \(\displaystyle{a_n}\) – общий член, а \(\displaystyle{S_n}\) – сумма первых \(\displaystyle{n}\) членов арифметической прогрессии с разностью \(\displaystyle{d\neq{0}}\). Найти \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{a_{n}^{2}}}\), где \(\displaystyle{a_n\neq{0}}\).
Решение
Так как \(\displaystyle{S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot{n}}\) и \(\displaystyle{a_n = a_1 + d(n-1)}\), то получим:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{a_{n}^{2}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(2a_1+d(n-1)\right)\cdot{n}}{2\left(a_1 + d(n-1)\right)^2}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2a_1}{n}+d\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2\left(\frac{a_1}{n} + d\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)^2}
=\frac{d}{2d^2}
=\frac{1}{2d}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2d}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №8 | Предел последовательности |
| Задача №40 | |
| Пункт №2 |