Задача №2052
Условие
Пусть \(\displaystyle{a_n}\) – общий член, а \(\displaystyle{S_n}\) – сумма первых \(\displaystyle{n}\) членов арифметической прогрессии с разностью \(\displaystyle{d\neq{0}}\). Найти \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}}\).
Решение
Так как \(\displaystyle{S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot{n}}\), то получим:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}
=\lim_{n\to\infty}\frac{2a_1+d (n-1)}{2n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_1}{n}+\frac{d}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right) \right)
=0+\frac{d}{2}\cdot{1}
=\frac{d}{2}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{d}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №8 | Предел последовательности |
| Задача №40 | |
| Пункт №1 |