Задача №2044

Решение

Область определения

Функция не определена, если знаменатель равен 0.

Область определения: \(\displaystyle{D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)}\).

Функция непрерывна на всей области определения. Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{-1}}y(x)=\infty}\), то \(\displaystyle{x=1}\) – точка разрыва второго рода, а прямая \(\displaystyle{x=1}\) будет вертикальной асимптотой.

Точки пересечения графика с осями координат

Пересечение с осью Ox

Имеем две точки: \(\displaystyle{(0;0)}\) и \(\displaystyle{(1;0)}\).

Пересечение с осью Oy

Так как \(\displaystyle{y(0)=0}\), то график функции пересекает ось ординат в точке \(\displaystyle{(0;0)}\).

Интервалы знакопостоянства

Так как \(\displaystyle{\frac{x^2}{(x+1)^2}\gt{0}}\) при любом \(\displaystyle{x\neq{0}}\), \(\displaystyle{x\neq{-1}}\), то знак \(\displaystyle{y(x)}\) при \(\displaystyle{x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;+\infty)}\) будет совпадать со знаком выражения \(\displaystyle{x-1}\).

• При \(\displaystyle{x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)}\) имеем \(\displaystyle{y(x)\lt{0}}\);
• При \(\displaystyle{x\in(1;+\infty)}\) имеем \(\displaystyle{y(x)\gt{0}}\).

Проверка на чётность и нечётность

Так как область определения не симметрична относительно точки \(\displaystyle{x=0}\), то заданная функция ни чётная ни нечётная.

Интервалы монотонности и экстремумы

• На интервалах \(\displaystyle{\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2};-1\right)}\) и \(\displaystyle{\left(0;\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)}\) функция убывает;
• На интервалах \(\displaystyle{\left(-\infty; \frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)}\), \(\displaystyle{(-1;0)}\) и \(\displaystyle{\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{2};+\infty\right)}\) функция возрастает.

\(\displaystyle{x_{\max}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\) – точка максимума; \(\displaystyle{y_{\max}\approx{-8{,}818}}\).

\(\displaystyle{x_{\max}=0}\) – точка максимума; \(\displaystyle{y_{\max}=0}\).

\(\displaystyle{x_{\min}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\) – точка минимума; \(\displaystyle{y_{\min}\approx{-0{,}057}}\).

Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба

Так как \(\displaystyle{(x+1)^4\gt{0}}\) на всей области определения, то знак \(\displaystyle{y''}\) будет совпадать с знаком выражения \(\displaystyle{5x-1}\).

• При \(\displaystyle{x\in(-\infty;-1)}\) и \(\displaystyle{x\in\left(-1;\frac{1}{5}\right)}\) функция выпукла;
• При \(\displaystyle{x\in\left(\frac{1}{5};+\infty\right)}\) функция вогнута.

\(\displaystyle{\left(\frac{1}{5};-\frac{1}{45}\right)}\) – точка перегиба.

Асимптоты

Ранее было получено уравнение вертикальной асимптоты: \(\displaystyle{x=1}\). Уравнения наклонных асимптот ищем в виде \(\displaystyle{y=kx+b}\).

Прямая \(\displaystyle{y=x-3}\) будет наклонной асимптотой.

График функции