Задача №2043
Условие
Написать разложение функции \(\displaystyle{y=\frac{x}{e^x-1}}\) по целым неотрицательным степеням переменной \(\displaystyle{x}\) до члена с \(\displaystyle{x^4}\) включительно.
Решение
Первый способ
\[
\frac{x}{e^x-1}
=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+o\left(x^4\right)
\]
\[
x=\left(e^x-1\right)\cdot\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+o\left(x^4\right)\right)=\\
=\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+o\left(x^5\right)\right)\cdot\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+o\left(x^4\right)\right)
\]
\[
1=\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+o\left(x^4\right)\right)\cdot\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+o\left(x^4\right)\right)
\]
\[
1
=a_0+\left(\frac{a_0}{2}+a_1\right)x+\left(\frac{a_0}{6}+\frac{a_1}{2}+a_2\right)x^2+\left(\frac{a_0}{24}+\frac{a_1}{6}+\frac{a_2}{2}+a_3 \right)x^3+\left(\frac{a_0}{120}+\frac{a_1}{24}+\frac{a_2}{6}+\frac{a_3}{2}+a_4\right)x^4+o\left(x^4\right)
\]
\[
\left\{\begin{aligned}
& a_0=1;\\
&\frac{a_0}{2}+a_1=0;\\
& \frac{a_0}{6}+\frac{a_1}{2}+a_2=0;\\
& \frac{a_0}{24}+\frac{a_1}{6}+\frac{a_2}{2}+a_3 = 0;\\
& \frac{a_0}{120}+\frac{a_1}{24}+\frac{a_2}{6}+\frac{a_3}{2}+a_4=0.
\end{aligned}\right.
\]
Решая данную систему, получим: \(\displaystyle{a_0=1}\), \(\displaystyle{a_1=-\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{a_2=\frac{1}{12}}\), \(\displaystyle{a_3=0}\), \(\displaystyle{a_4=-\frac{1}{720}}\).
\[
\frac{x}{e^x-1}
=1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{720}x^4+o\left(x^4\right)
\]
Второй способ
Обозначим \(\displaystyle{u=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+\left(o^4\right)}\).
\[
\frac{x}{e^x-1}
=\frac{1}{\frac{1}{x}\left(e^x-1\right)}
=\frac{1}{\frac{1}{x}\cdot\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+o\left(x^5\right) \right)}=\\
=\frac{1}{1+u}
=1-u+u^2-u^3+u^4+o\left(u^4\right)
=1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{720}x^4+o\left(x^4\right)
\]
Ответ:
\(\displaystyle{1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{720}x^4+o\left(x^4\right)}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1382 |