Задача №2042
Условие
Написать разложение функции \(\displaystyle{y=e^{2x-x^2}}\) по целым неотрицательным степеням переменной \(\displaystyle{x}\) до члена с \(\displaystyle{x^5}\) включительно.
Решение
\[
y
=e^{2x-x^2}
=1+2x-x^2+\frac{\left(2x-x^2\right)^2}{2!}+\frac{\left(2x-x^2\right)^3}{3!}+\frac{\left(2x-x^2\right)^4}{4!}+\frac{\left(2x-x^2\right)^5}{5!}+o\left(\left(2x-x^2\right)^5\right)=\\
=1+2x-x^2+\frac{4x^2-4x^3+x^4}{2}+\frac{8x^3-12x^4+6x^5}{6}+\frac{16x^4-32x^5}{24}+\frac{32x^5}{120}+o\left(x^5\right)=\\
=1+2x+x^2-\frac{2}{3}x^3-\frac{5}{6}x^4-\frac{1}{15}x^5+o\left(x^5\right)
\]
Ответ:
\(\displaystyle{1+2x+x^2-\frac{2}{3}x^3-\frac{5}{6}x^4-\frac{1}{15}x^5+o\left(x^5\right)}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1381 |