Задача №2041
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\cdot\frac{\ln\left(e^x+x\right)}{x}\right)}\).
Решение
Для сокращения записей обозначим \(\displaystyle{u(x)=\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}}\), \(\displaystyle{v(x)=\sqrt{x^2+x+1}}\), \(\displaystyle{t(x)=\frac{\ln\left(e^x+x\right)}{x}}\).
Рассмотрим несколько вспомогательных пределов:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x'}{\left(e^x\right)'}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^x}
=0.
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(x-\ln\left(x+e^x\right)\right)
=\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{e^x}{x+e^x}
=\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{1}{\frac{x}{e^x}+1}
=\ln{1}
=0.
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}t(x)
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(e^x\left(\frac{x}{e^x}+1\right)\right)}{x}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\ln\left(\frac{x}{e^x}+1\right)}{x}
=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\ln\left(\frac{x}{e^x}+1\right)}{x}\right)
=1.
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(u\cdot(1-t)\right)
=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}\cdot\left(1-\frac{\ln\left(e^x+x\right)}{x}\right)\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}\cdot\left(x-\ln\left(e^x+x\right)\right)\right)
=1\cdot{0}=0.
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}(u-v)
=\lim_{x\to+\infty}\left(x\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}-x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x}}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)^2}}\cdot\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)-\frac{1}{2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}\cdot\left(1+\frac{2}{x}\right) \right)
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}
=-\frac{1}{6}.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}(u-vt)
=\lim_{x\to+\infty}(u-ut+ut-vt)
=\lim_{x\to+\infty}(u(1-t)+t(u-v))
=0+1\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)
=-\frac{1}{6}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{6}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1369 |