Задача №2040
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\ln{x}}}{(\ln{x})^x}}\)
Решение
\[
\frac{x^{\ln{x}}}{(\ln{x})^x}
=\frac{e^{\ln^2{x}}}{e^{x\ln\ln{x}}}
=e^{\ln^2{x}-x\ln\ln{x}}
\]
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2{x}}{x}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\ln^2{x}\right)'}{(x)'}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln{x}}{x}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(2\ln{x}\right)'}{(x)'}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}
=0.
\]
Так как при \(\displaystyle{x\to+\infty}\) имеем \(\displaystyle{\ln\ln{x}\to+\infty}\), то получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\ln^2{x}-x\ln\ln{x}\right)
=\lim_{x\to+\infty}\left(x\left(\frac{\ln^2{x}}{x}-\ln\ln{x}\right)\right)
=-\infty.
\]
Следовательно, \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}e^{e^{\ln^2{x}-x\ln\ln{x}}}=0}\).
Ответ:
0Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1368 | |
| Пункт №2 |