Задача №2039
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cth{x}}}\)
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\cth{x}\ln\frac{1+e^x}{2}\right)
=\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\frac{1+e^x}{2}}{\th{x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\ln\frac{1+e^x}{2}\right)'}{(\th{x})'}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{e^x}{e^x+1}}{\frac{1}{\ch^2{x}}}
=\frac{1}{2}.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cth{x}}
=\lim_{x\to{0}}e^{\cth{x}\ln\frac{1+e^x}{2}}
=e^{\frac{1}{2}}
=\sqrt{e}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{e}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1368 | |
| Пункт №1 |