Задача №2038
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)
=\lim_{x\to{0}}\frac{e^x-1-x}{xe^x-x}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(e^x-1-x\right)'}{\left(xe^x-x\right)'}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{e^x-1}{e^x+xe^x-1}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{e^x-1}{x}}{\frac{e^x-1}{x}+e^x}
=\frac{1}{1+1}
=\frac{1}{2}.
\]
В принципе, можно было применить ещё раз правило Лопиталя:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{e^x-1}{e^x+xe^x-1}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{e^x}{2e^x+xe^x}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1}{2+x}
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1354 |