Задача №2037
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}(2-x)^{\tg\frac{\pi{x}}{2}}}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to{1}}\left(\tg\frac{\pi{x}}{2}\cdot\ln(2-x)\right)
=\lim_{x\to{1}}\frac{\ln(2-x)}{\ctg\frac{\pi{x}}{2}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{1}}\frac{(\ln(2-x))'}{\left(\ctg\frac{\pi{x}}{2}\right)'}
=\lim_{x\to{1}}\frac{\frac{1}{x-2}}{-\frac{1}{\sin^2\frac{\pi{x}}{x}}\cdot\frac{\pi}{2}}
=\frac{2}{\pi}.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{1}}(2-x)^{\tg\frac{\pi{x}}{2}}
\lim_{x\to{1}}e^{\tg\frac{\pi{x}}{2}\cdot\ln(2-x)}
=e^{\frac{2}{\pi}}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{e^{\frac{2}{\pi}}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1347 |