Задача №2032
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x^2}}{x^2\sin{x^2}}}\).
Решение
Можно сделать замену \(\displaystyle{t=x^2}\):
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x^2}}{x^2\sin{x^2}}
=\lim_{t\to{0}}\frac{1-\cos{t}}{t\sin{t}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{\left(1-\cos{t}\right)'}{\left(t\sin{t}\right)'}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}}{\sin{t}+t\cos{t}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{(\sin{t})'}{(\sin{t}+t\cos{t})'}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\cos{t}}{2\cos{t}-\sin{t}}
=\frac{1}{2}.
\]
Можно было и не делать замену:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x^2}}{x^2\sin{x^2}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x^2}\right)'}{\left(x^2\sin{x^2}\right)'}
=\lim_{x\to{0}}\frac{2x\sin{x^2}}{2x\sin{x^2}+2x^3\cos{x^2}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{x^2}}{x^2}}{\frac{\sin{x^2}}{x^2}+\cos{x^2}}
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1326 |