Задача №2027
Условие
Найти \(\displaystyle{y^{(n)}}\), если \(\displaystyle{y=x^2\sin{ax}}\).
Решение
Случай \(\displaystyle{a=0}\) тривиален: \(\displaystyle{y^{(n)}=0}\).
Рассмотрим случай \(\displaystyle{a\neq{0}}\). Применим формулу Лейбница. В этой формуле будут лишь три ненулевых слагаемых, которые содержат \(\displaystyle{x^2}\), \(\displaystyle{\left(x^2\right)'}\) и \(\displaystyle{\left(x^2\right)''}\). При этом учтём и такую формулу:
\[
(\sin{ax})^{(n)}
=a^n\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)
\]
\[
y^{(n)}
=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left(x^2\right)^{(k)}(\sin{ax})^{(n-k)}
=C_{n}^{0}\cdot{x^2}\cdot(\sin{ax})^{(n)}+C_{n}^{1}\cdot{2x}\cdot(\sin{ax})^{(n-1)}+2C_{n}^{2}\cdot(\sin{ax})^{(n-2)}=\\
=x^2\cdot{a^n}\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)+2nx\cdot{a^{n-1}}\sin\left(ax+\frac{\pi{(n-1)}}{2}\right)+n(n-1)\cdot{a^{n-2}}\sin\left(ax+\frac{\pi{(n-2)}}{2}\right)=\\
=a^{n-2}\cdot\left( \left(a^2x^2-n^2+n\right)\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)-2anx\cdot\cos\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)\right).
\]
Ответ:
\(\displaystyle{a^{n-2}\cdot\left( \left(a^2x^2-n^2+n\right)\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)-2anx\cdot\cos\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)\right)}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1203 |