Задача №2026
Условие
Найти \(\displaystyle{y^{(n)}}\), если \(\displaystyle{y=\sin^3{x}}\).
Решение
Используем формулы \(\displaystyle{\sin^3{x}=\frac{3}{4}\sin{x}-\frac{1}{4}\sin{3x}}\) и \(\displaystyle{(\sin{ax})^{(n)}=a^n\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)}\).
\[
y^{(n)}
=\frac{3}{4}\cdot\left(\sin{x}\right)^{(n)}-\frac{1}{4}\cdot\left(\sin{3x}\right)^{(n)}
=\frac{3}{4}\cdot\sin\left(x+\frac{\pi{n}}{2}\right)-\frac{3^n}{4}\cdot\sin\left(3x+\frac{\pi{n}}{2}\right)
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{3}{4}\cdot\sin\left(x+\frac{\pi{n}}{2}\right)-\frac{3^n}{4}\cdot\sin\left(3x+\frac{\pi{n}}{2}\right)}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1195 |