Задача №2025
Условие
Найти \(\displaystyle{y^{(n)}}\), если \(\displaystyle{y=\frac{1}{x^2-3x+2}}\).
Решение
\[
y
=\frac{1}{(x-1)(x-2)}
=\frac{x-1-(x-2)}{(x-1)(x-2)}
=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}-\frac{x-2}{(x-1)(x-2)}
=(x-2)^{-1}-(x-1)^{-1}.
\]
\[
y^{(n)}
=\left((x-2)^{-1}\right)^{(n)}-\left((x-1)^{-1}\right)^{(n)}=\\
=(-1)^n\cdot{n!}\cdot(x-2)^{-1-n}-(-1)^n\cdot{n!}\cdot(x-1)^{-1-n}
=(-1)^{n}\cdot{n!}\cdot\left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right).
\]
При нахождении производных была использована такая формула:
\[
(x^m)^{(n)}=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot(m-n+1)x^{m-n}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{(-1)^{n}\cdot{n!}\cdot\left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right)}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1190 |