Задача №2024
Условие
\(\displaystyle{y=x\ln{x}}\). Найти \(\displaystyle{y^{(5)}}\).
Решение
Первый способ
\[
\begin{aligned}
& y'=\ln{x}+1;\\
& y''=x^{-1};\\
& y'''=-x^{-2};\\
& y^{(4)}=2x^{-3};\\
& y^{(5)}=-6x^{-4}=-\frac{6}{x^4}.
\end{aligned}
\]
Второй способ
Применим формулу Лейбница. В этой формуле ненулевыми будут лишь те два слагаемых, которые содержат \(\displaystyle{x}\) и \(\displaystyle{x'}\):
\[
y^{(5)}
=\sum\limits_{k=0}^{5}C_{5}^{k}x^{(k)}(\ln{x})^{(5-k)}
=x\cdot(\ln{x})^{(5)}+5\cdot(\ln{x})^{(4)}
=x\cdot\frac{(-1)^4\cdot{4!}}{x^5}+5\cdot\frac{(-1)^3\cdot{3!}}{x^4}
=-\frac{6}{x^4}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{6}{x^4}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №2 | Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
| Задача №1163 |