Задача №2022
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}x\left[\frac{1}{x}\right]}\).
Решение
Осуществим замену \(\displaystyle{t=\frac{1}{x}}\), где \(\displaystyle{t\to\infty}\).
\[
\lim_{x\to{0}}x\left[\frac{1}{x}\right]
=\lim_{t\to\infty}\left(\frac{1}{t}\cdot[t]\right)
=\lim_{t\to\infty}\frac{[t]}{[t]+\{t\}}
=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{1+\{t\}\cdot\frac{1}{[t]}}
=1.
\]
Здесь использован тот факт, что функция \(\displaystyle{\{t\}}\) ограниченная, а функция \(\displaystyle{\frac{1}{[t]}}\) – бесконечно малая. Соответственно, функция \(\displaystyle{\{t\}\cdot\frac{1}{[t]}}\) есть бесконечно малая.
Ответ:
1Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №603 |